2. Решите уравнения: а) $\left(\frac{343}{64}\right)^{2x-4}=\left(3\frac{1}{16}\right)^{2x}$; б) $\left(\frac{25}{16}\right)^{7x+2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2x+4}$; в) $(-4)^{3x+1}=1$; г) $(-11)^{|x|-3}=-11$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите уравнения: а) $\left(\frac{343}{64}\right)^{2x-4}=\left(3\frac{1}{16}\right)^{2x}$; б)…$ Фото задания

2. Решите уравнения: а) $\left(\frac{343}{64}\right)^{2x-4}=\left(3\frac{1}{16}\right)^{2x}$; б) $\left(\frac{25}{16}\right)^{7x+2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2x+4}$; в) $(-4)^{3x+1}=1$; г) $(-11)^{|x|-3}=-11$.

Accepted Answer

а) Представим основания как степени одного числа: $\frac{343}{64}=\left(\frac{7}{4}\right)^3$, а $3\frac{1}{16}=\frac{49}{16}=\left(\frac{7}{4}\right)^2$.

Тогда $\left(\frac{7}{4}\right)^{3(2x-4)}=\left(\frac{7}{4}\right)^{4x}$. Приравниваем показатели: $6x-12=4x$, откуда $2x=12$, $x=6$.

б) Так как $\frac{25}{16}=\left(\frac{5}{4}\right)^2$, получаем $\left(\frac{5}{4}\right)^{2(7x+2)}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2x+4}$.

Приравниваем показатели: $14x+4=2x+4$, значит $12x=0$, $x=0$.

в) Для целых степеней числа $-4$ равенство $(-4)^n=1$ возможно только при $n=0$. Поэтому $3x+1=0$, откуда $x=-\frac{1}{3}$.

г) Чтобы целая степень числа $-11$ равнялась $-11$, показатель должен быть равен 1. Значит, $|x|-3=1$, то есть $|x|=4$. Следовательно, $x=-4$ или $x=4$.

В пунктах в) и г) рассматриваются стандартные целые степени отрицательного основания.

Ответ: а) $6$; б) $0$; в) $-\frac{1}{3}$; г) $-4, 4$.

2. Решите уравнения: а) \(\left(\frac{343}{64}\right)^{2x-4}=\left(3\frac{1}{16}\right)^{2x}\); б) \(\left(\frac{25}{16}\right)^{7x+2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2x+4}\); в) \((-4)^{3x+1}=1\); г) \((-11)^{|x|-3}=-11\).

Ответ: