№2. Решите уравнения: a) (x²+3x+2)(x²+3x+4) = 48 б) x⁴ - 14x² + 16 = 0

Решение:

а) (x²+3x+2)(x²+3x+4) = 48

1. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 + 3x + 2 \).
2. Тогда \( x^2 + 3x + 4 = y + 2 \).
3. Уравнение примет вид: \( y(y+2) = 48 \)
4. Раскроем скобки: \( y^2 + 2y = 48 \)
5. Перенесём всё в одну часть: \( y^2 + 2y - 48 = 0 \)
6. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-48) = 4 + 192 = 196 \)
7. \( \sqrt{D} = 14 \)
8. Найдем корни для \( y \):
• \( y_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
• \( y_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \)
9. Теперь вернемся к замене \( x \):
• Случай 1: \( x^2 + 3x + 2 = 6 \)
• \( x^2 + 3x - 4 = 0 \)
• \( D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \)
• \( \sqrt{D} = 5 \)
• \( x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \)
• Случай 2: \( x^2 + 3x + 2 = -8 \)
• \( x^2 + 3x + 10 = 0 \)
• \( D = 3^2 - 4(1)(10) = 9 - 40 = -31 \)
• Так как \( D < 0 \), этот случай не имеет действительных корней.

Ответ: \( x = 1, x = -4 \).

б) x⁴ - 14x² + 16 = 0

1. Сделаем замену переменной. Пусть \( t = x^2 \).
2. Уравнение примет вид: \( t^2 - 14t + 16 = 0 \)
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(16) = 196 - 64 = 132 \)
4. \( \sqrt{D} = \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2\sqrt{33} \)
5. Найдем корни для \( t \):
• \( t_1 = \frac{14 + 2\sqrt{33}}{2} = 7 + \sqrt{33} \)
• \( t_2 = \frac{14 - 2\sqrt{33}}{2} = 7 - \sqrt{33} \)
6. Теперь вернемся к замене \( x \). Так как \( t = x^2 \), то \( x = \pm\sqrt{t} \).
• Случай 1: \( x^2 = 7 + \sqrt{33} \)
• \( x = \pm\sqrt{7 + \sqrt{33}} \)
• Случай 2: \( x^2 = 7 - \sqrt{33} \)
• \( x = \pm\sqrt{7 - \sqrt{33}} \)

Ответ: \( x = \pm\sqrt{7 + \sqrt{33}}, x = \pm\sqrt{7 - \sqrt{33}} \).