2) Решите задачи: а) В трапеции ABCD ∠B = 115°, ∠D = 50°. Найдите ∠A и ∠C. б) В трапеции ABCD ∠A = 90°, ∠C : ∠D = 4 : 1. Найдите ∠C. в) Отрезок длиной 9 — средняя линия трапеции; основания равны a и b, причём a − b = 4. Найдите a и b.

а) Основания трапеции параллельны, поэтому углы при каждой боковой стороне в сумме равны 180°.

∠A = 180° − 115° = 65°.

∠C = 180° − 50° = 130°.

б) Так как ∠A = 90°, боковая сторона AB перпендикулярна основанию AD. Поскольку основания параллельны, AB также перпендикулярна BC, значит, ∠B = 90°.

Соседние углы C и D supplementary: ∠C + ∠D = 180°. По отношению 4 : 1 пусть ∠C = 4x, ∠D = x. Тогда 5x = 180°, откуда x = 36° и ∠C = 144°.

в) Засечки показывают, что проведённый отрезок соединяет середины боковых сторон, то есть это средняя линия трапеции. Её длина равна полусумме оснований:

\(\frac{a+b}{2}=9\), следовательно, \(a+b=18\).

Решаем систему \(a+b=18\), \(a-b=4\). Складывая уравнения, получаем \(2a=22\), поэтому \(a=11\). Тогда \(b=18-11=7\).

Ответ: а) ∠A = 65°, ∠C = 130°; б) ∠C = 144°; в) a = 11, b = 7.