2. Решите задачу. К окружности с центром в точке O провели две касательные CA и CB из точки C так, что A и B — точки касания. Определите градусную меру большей дуги AB, если известно, что длина отрезка касательной AC в √3 раз больше радиуса данной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC: радиус OA перпендикулярен касательной AC.

По условию \(AC=\sqrt{3}\,OA\). Тогда

\(\tan\angle AOC=\dfrac{AC}{OA}=\sqrt{3}\), поэтому \(\angle AOC=60^\circ\).

Радиусы \(OA\) и \(OB\) равны, а касательные из одной точки равны, поэтому треугольники \(OAC\) и \(OBC\) равны. Следовательно, \(\angle AOB=2\angle AOC=2\cdot60^\circ=120^\circ\).

Меньшая дуга \(AB\) имеет меру \(120^\circ\), поэтому большая дуга:

\(360^\circ-120^\circ=240^\circ\).

Ответ: 240°.