2. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Периметр прямоугольника 180 м. Если его длину увеличить на 20 м, а ширину уменьшить на 10 м, то площадь увеличится на 100 м². Найти длину и ширину данного прямоугольника.

Этап 1: Построение математической модели. Пусть длина прямоугольника равна x м, а ширина - y м. Периметр: 2(x + y) = 180 → x + y = 90. Площадь: S = xy. Новые размеры: длина (x + 20) м, ширина (y - 10) м. Новая площадь: S' = (x + 20)(y - 10). Условие: S' = S + 100 → (x + 20)(y - 10) = xy + 100.

Этап 2: Работа с моделью. Из первого уравнения: y = 90 - x. Подставляем во второе уравнение: (x + 20)(90 - x - 10) = x(90 - x) + 100 (x + 20)(80 - x) = 90x - x² + 100 x² - 80x + 1600 - 20x = 90x - x² + 100 -x² + 60x + 1600 = 90x - x² + 100 60x + 1600 = 90x + 100 1500 = 30x x = 50.

Этап 3: Ответ на вопрос задачи. Длина x = 50 м. Ширина y = 90 - x = 90 - 50 = 40 м. Проверка: Периметр = 2(50 + 40) = 180 м. Площадь = 50 · 40 = 2000 м². Новая длина = 50 + 20 = 70 м. Новая ширина = 40 - 10 = 30 м. Новая площадь = 70 · 30 = 2100 м². 2100 = 2000 + 100. Условие выполнено. Ответ: Длина 50 м, ширина 40 м.