2. («Росатом», 2022, 7.3) За победу в партии на шахматном турнире участник получает одно очко, за ничью — половину очка, за поражение 0 очков. Петя сыграл на турнире 24 партии и набрал 16½ очков. На сколько партий он выиграл больше, чем проиграл?

Решение:

Обозначим количество выигранных партий как \(W\), количество ничьих как \(D\), а количество проигранных партий как \(L\).

Из условия задачи известно, что всего было сыграно 24 партии:

\(W + D + L = 24\)

Количество набранных очков равно 16,5. За победу дают 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за поражение — 0 очков. Таким образом:

\(1 \cdot W + 0.5 \cdot D + 0 \cdot L = 16.5\)

\(W + 0.5D = 16.5\)

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\(2W + D = 33\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(W + D + L = 24\)
2. \(2W + D = 33\)

Из второго уравнения выразим \(D\):

\(D = 33 - 2W\)

Подставим это выражение для \(D\) в первое уравнение:

\(W + (33 - 2W) + L = 24\)

\(33 - W + L = 24\)

Выразим \(L\) через \(W\):

\(L = W - 33 + 24\)

\(L = W - 9\)

Это означает, что количество выигранных партий \(W\) на 9 больше, чем количество проигранных партий \(L\).

Мы можем также найти количество ничьих \(D\). Так как \(D = 33 - 2W\), и \(D \ge 0\), то \(33 - 2W \ge 0\), \(2W \le 33\), \(W \le 16.5\). Также \(W \ge 0\).

Из \(L = W - 9\), и \(L \ge 0\), то \(W - 9 \ge 0\), \(W \ge 9\).

Из \(W + D + L = 24\):

\(W + (33 - 2W) + (W - 9) = 24\)

\(W + 33 - 2W + W - 9 = 24\)

\(24 = 24\)

Это подтверждает, что найденные зависимости верны. Разница между выигранными и проигранными партиями равна \(W - L\).

\(W - L = W - (W - 9) = 9\)

Таким образом, Петя выиграл на 9 партий больше, чем проиграл.

Ответ: на 9 партий.