2. SABC — правильный тетраэдр с ребром 3. Найдите координаты точек P и P₁, если SP = 1, PP₁ ⟂ (ABC), P₁ ∈ (ABC).

Выберем начало координат в точке A, ось Ox направим вдоль AC, ось Oy — вдоль высоты основания ABC, а ось Oz — перпендикулярно плоскости (ABC). Тогда вершина основания A имеет координаты (0, 0, 0).

Основание — равносторонний треугольник со стороной 3. Поэтому C = (3, 0, 0), B = (1.5, 1.5√3, 0). Его центр O = (1.5, √3/2, 0), а высота правильного тетраэдра равна 3√(2/3) = √6. Значит, S = (1.5, √3/2, √6).

Так как SP = 1, а ребро SA = 3, точка P делит SA в отношении SP:PA = 1:2. Следовательно, P = S + (A − S)/3 = (1, √3/3, 2√6/3).

Перпендикуляр PP₁ к плоскости основания параллелен оси Oz, поэтому P₁ имеет те же координаты x и y, что P, и координату z = 0.

Ответ: P(1, √3/3, 2√6/3), P₁(1, √3/3, 0).