2) SABCD - правильная пирамида, SK - апофема, AD = 18, ∠SAO = 30°. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Для нахождения объема правильной пирамиды используется формула:

V = (1/3) * S_base * h

где V - объем, S_base - площадь основания, h - высота пирамиды.

1. Площадь основания (S_base):

• Основание пирамиды ABCD - квадрат.
• Сторона квадрата AD = 18.
• Площадь квадрата вычисляется по формуле: S = a².
• S_base = 18² = 324.

2. Высота пирамиды (h):

• SK - апофема, которая является высотой боковой грани.
• В правильной пирамиде апофема перпендикулярна стороне основания.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO.
• AO - половина диагонали квадрата основания.
• Диагональ квадрата d = a * sqrt(2) = 18 * sqrt(2).
• AO = d / 2 = (18 * sqrt(2)) / 2 = 9 * sqrt(2).
• В треугольнике SAO, ∠SAO = 30°.
• Мы знаем катет AO и угол прилежащий к нему. Нам нужно найти высоту SO (h).
• Используем тангенс угла: tan(∠SAO) = SO / AO
• SO = AO * tan(∠SAO) = 9 * sqrt(2) * tan(30°)
• tan(30°) = 1 / sqrt(3)
• SO = 9 * sqrt(2) * (1 / sqrt(3)) = 9 * sqrt(2) / sqrt(3) = 9 * sqrt(6) / 3 = 3 * sqrt(6).
• Итак, высота пирамиды h = 3 * sqrt(6).

3. Объем пирамиды (V):

• V = (1/3) * S_base * h
• V = (1/3) * 324 * (3 * sqrt(6))
• V = 108 * (3 * sqrt(6))
• V = 324 * sqrt(6).

Ответ: 324 * sqrt(6)