2. Семиклассники школ города написали проверочную работу по физике. Из первой сотни проверенных работ на «четыре» были оценены 24, а из второй сотни — 33 работы. Используя эти данные, оцените (найдите приближённо) вероятность того, что случайно выбранный семиклассник из этого города: a) написал работу на отметку «четыре»; б) написал работу на другую отметку (не «четыре»). в) Может ли быть так, что оценка вероятности, сделанная только по первым 100 работам, лучше (ближе к истинному значению вероятности), чем оценка, сделанная по 200 работам? Объясните почему.

Решение:

а) Вероятность написания работы на «четыре»

Вероятность события находится как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. В данном случае, мы имеем данные из двух выборок. Для получения наиболее точной оценки, мы объединим данные:

• Общее количество проверенных работ: 100 + 100 = 200 работ.
• Общее количество работ, оцененных на «четыре»: 24 + 33 = 57 работ.
• Приближённая вероятность того, что случайно выбранный семиклассник написал работу на «четыре», равна:

\[ P(\text{«четыре»}) = \frac{\text{количество работ на «четыре»}}{\text{общее количество работ}} = \frac{57}{200} \]

Для перевода в десятичную дробь:

\[ \frac{57}{200} = \frac{57 \times 5}{200 \times 5} = \frac{285}{1000} = 0.285 \]

Ответ: Вероятность примерно равна 0.285 или 28.5%.

б) Вероятность написания работы на другую отметку (не «четыре»)

Событие «написал работу на другую отметку» является противоположным событию «написал работу на «четыре»». Вероятность противоположного события равна 1 минус вероятность данного события.

\[ P(\text{не «четыре»}) = 1 - P(\text{«четыре»}) = 1 - 0.285 = 0.715 \]

Ответ: Вероятность примерно равна 0.715 или 71.5%.

в) Сравнение оценок вероятности

Может ли быть так, что оценка вероятности, сделанная только по первым 100 работам, лучше (ближе к истинному значению вероятности), чем оценка, сделанная по 200 работам?

Да, может.

Объяснение:

Теоретически, чем больше выборка, тем точнее оценка вероятности приближается к истинному значению. Однако, если первые 100 работ оказались менее репрезентативными (то есть, их распределение оценок сильно отличалось от общего распределения в генеральной совокупности), а вторые 100 работ (или их часть) внесли больше «шума» или исказили эту репрезентативность, то оценка по первым 100 работам могла оказаться ближе к истинной вероятности. Случайность выборки играет большую роль. Например, если бы в первых 100 работах случайно оказалось, что очень мало «четверок» (например, 10), а в последующих 100 — очень много (например, 47), то средняя вероятность (57/200 = 0.285) может быть дальше от истинной, чем 10/100 = 0.1, если бы истинная вероятность была, например, 0.15. Или наоборот, если бы в первых 100 работах было 20 «четверок» (вероятность 0.2), а во вторых 100 — 37 «четверок» (вероятность 0.37), то оценка по первым 100 работам (0.2) может быть ближе к истинной, чем средняя (0.285), если истинная вероятность, например, 0.22. Таким образом, результат зависит от конкретных данных в выборках.

Ответ: Да, может, так как оценка истинной вероятности зависит от репрезентативности выборки, и большая выборка не всегда гарантирует более точный результат, если её состав случайно отклоняется от генеральной совокупности.