2. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, причём точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ∠ABC = ∠ADC.

Обозначим середину BD через O. По условию O — центр окружности, диаметр которой AC, поэтому O — середина AC.

Рассмотрим поворот на 180° вокруг O. Он переводит A в C, а B в D, поскольку O — середина отрезков AC и BD.

Поворот сохраняет величину угла. Поэтому угол ABC переходит в угол CDA: ∠ABC = ∠CDA. Углы CDA и ADC равны, поскольку это один и тот же угол при вершине D, образованный лучами DC и DA.

Ответ: ∠ABC = ∠ADC.