2. Серединный перпендикуляр к отрезку AB — это прямая, которая ________. а) Докажите, что любая точка C на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка AB (вспомните I признак равенства треугольников). б) Докажите, что точка D, не лежащая на серединном перпендикуляре к AB, не может быть равноудалённой от A и B. Проведите, глядя на рисунок, рассуждение от противного. Какие равнобедренные треугольники можно отыскать? В чём тогда будет противоречие? в) Три точки A, B, C не лежат на одной прямой. Как построить точку O, равноудалённую от всех трёх точек? г) Может ли быть ещё какая-то точка O′, равноудалённая от A, B и C? Нет, потому что такая точка должна лежать на двух различных ________, которые могут пересекаться только ________.

Серединный перпендикуляр к отрезку AB — это прямая, которая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему.

а) Пусть M — точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком AB. Тогда AM = BM, а CM — общая сторона треугольников AMC и BMC. Углы AMC и BMC прямые, поэтому равны. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = BC.

б) Предположим противное: точка D не лежит на серединном перпендикуляре к AB, но DA = DB. Пусть M — середина AB. Треугольники AMD и BMD равны по трём сторонам: AM = BM, AD = BD, а DM — общая сторона. Поэтому ∠AMD = ∠BMD. Эти углы смежные, значит, каждый прямой, и DM ⟂ AB. Следовательно, D лежит на серединном перпендикуляре к AB, что противоречит предположению.

Равнобедренный треугольник: ADB, поскольку DA = DB.

в) Постройте серединные перпендикуляры к AB и BC. Они пересекутся в точке O. По доказанному в пунктах а) и б) эта точка равноудалена от A и B, а также от B и C; значит, OA = OB = OC. Так как точки A, B, C не лежат на одной прямой, серединные перпендикуляры пересекаются.

г) Нет. Такая точка должна лежать на двух различных серединных перпендикулярах, которые могут пересекаться только в одной точке.