2. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (доказательство).

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Признак: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где \( ∠C = ∠C_1 = 90^\circ \). Предположим, что \( AC = A_1C_1 \) (катеты) и \( AB = A_1B_1 \) (гипотенузы).

Достроим каждый из этих треугольников до равнобедренного треугольника, проведя через вершину C (или C₁) луч, перпендикулярный катету AC (или A₁C₁) и отложив на нем отрезок CD = AC (или C₁D₁ = A₁C₁).

Тогда треугольники ADC и A₁D₁C₁ будут равны по двум сторонам и углу между ними (AC = A₁C₁, CD = C₁D₁, \( ∠ACD = ∠A_1C_1D_1 = 90^\circ \)). Следовательно, \( AD = A_1D_1 \) и \( ∠CAD = ∠C_1A_1D_1 \), \( ∠ADC = ∠A_1D_1C_1 \).

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.

\( AB = A_1B_1 \) (по условию).

\( AD = A_1D_1 \) (доказано выше).

\( ∠BAD = ∠B_1A_1D_1 \) (так как \( ∠BAC = ∠B_1A_1C_1 \) и \( ∠CAD = ∠C_1A_1D_1 \), а \( ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD \) и \( ∠B_1A_1D_1 = ∠B_1A_1C_1 + ∠C_1A_1D_1 \)).

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует, что \( BD = B_1D_1 \) и \( ∠ABD = ∠A_1B_1D_1 \), \( ∠ADB = ∠A_1D_1B_1 \).

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

\( AB = A_1B_1 \) (по условию).

\( AC = A_1C_1 \) (по условию).

\( ∠BAC = ∠B_1A_1C_1 \) (доказано выше).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.