2. Система, состоящая из подвижного и неподвижного блоков и двух грузов, показанная на рисунке, находится в равновесии. Масса левого груза m1 = 3 кг, масса каждого из блоков равна m = 1 кг, массой нитей можно пренебречь. Найдите массу m2 правого груза. Трения нет.

Решение:

Рассмотрим систему блоков. Система находится в равновесии, что означает, что сумма моментов сил относительно точки подвеса равна нулю. Примем силу тяжести, действующую на грузы и блоки, за величины, создающие момент.

Анализ сил:

• Левый груз \(m_1\): Его вес \(P_1 = m_1 \cdot g\) действует вниз.


• Подвижный блок: Сам блок имеет массу \(m\), поэтому его вес \(P_{блок} = m \cdot g\) действует вниз. Так как блок подвижный, сила, действующая на нить, поднимающую его, равна удвоенной силе, приложенной к грузу \(m_2\) (если бы нить была просто растянута), но в данном случае он находится в равновесии с силами, действующими на него.


• Правый груз \(m_2\): Его вес \(P_2 = m_2 \cdot g\) действует вниз.


• Неподвижный блок: Он служит только для изменения направления силы.

Условие равновесия:

Система состоит из подвижного блока, к которому прикреплен груз \(m_1\) и нить, идущая от неподвижного блока к этому подвижному блоку, а также груз \(m_2\), подвешенный к концу нити, проходящей через неподвижный блок.

Для подвижного блока, который находится в равновесии, сила, действующая на него со стороны нити (идущей от неподвижного блока), должна уравновешивать суммарный вес груза \(m_1\) и самого подвижного блока \(m\). Поскольку нить обхватывает подвижный блок, сила, действующая на него, распределяется по двум участкам нити, которые тянут вверх. Если бы нить просто тянула вверх, то сила натяжения была бы равна \(P_2\). Но подвижный блок поднимает \(m_1\), поэтому сила натяжения, действующая на систему, должна быть равна \(P_2\).

Сила, действующая на подвижный блок и груз \(m_1\) снизу, равна \(P_2\). Силы, действующие на подвижный блок сверху (со стороны двух участков нити, идущих к неподвижному блоку), суммарно тянут его вверх. В случае равновесия, сила натяжения нити, которая поднимает подвижный блок, равна \(P_2\). Эта сила \(P_2\) действует на две нити, которые поддерживают подвижный блок. То есть, натяжение каждой из этих нитей равно \(P_2 / 2\).

Теперь рассмотрим равновесие подвижного блока вместе с грузом \(m_1\) и самим блоком.

Сила, действующая на подвижный блок и \(m_1\) снизу, равна \(P_2\). Эта сила тянет вверх. Силы, действующие на подвижный блок сверху, это суммарный вес \(m_1\) и \(m\).

Правильный подход:

Для подвижного блока, который поднимает груз \(m_1\) и имеет массу \(m\), сила, действующая на него со стороны нити, проходящей через неподвижный блок, уравновешивает вес \(m_1\) и вес блока \(m\) пополам (так как нить поддерживает его с двух сторон).

Таким образом, для равновесия подвижного блока:

\( P_2 = P_1 + P_{блок} \) - Это неверно, т.к. \(P_2\) - сила, а \(P_1\) и \(P_{блок}\) - веса. \(P_2\) - это сила натяжения нити, которая поднимает эту систему. Но \(P_2\) - это вес груза, который создает это натяжение.

Корректный анализ:

Сила натяжения нити, выходящей из неподвижного блока и идущей к подвижному, равна весу груза \(m_2\), то есть \(T = m_2 \times g\).

Эта сила \(T\) распределяется на две нити, поддерживающие подвижный блок. Следовательно, сила, действующая вверх на подвижный блок, равна \(2T\) (если бы это был простой блок, но это не так).

Другой подход (момент сил):

Рассмотрим силы, действующие на подвижный блок. На него действуют:

• Вес груза \(m_1\) - \( m_1 g \) вниз.


• Вес самого блока \(m\) - \( mg \) вниз.


• Сила натяжения двух участков нити, которые проходят через неподвижный блок. Пусть сила натяжения в нити равна \(T\). Тогда эти два участка тянут вверх с силой \(T\) каждый.

Итак, для равновесия подвижного блока:

\( 2T = m_1 g + mg \)

Теперь, откуда берется сила \(T\)? Сила \(T\) — это сила натяжения нити, к которой подвешен груз \(m_2\). Следовательно, \(T = m_2 g\).

Подставляем \(T\) в первое уравнение:

\( 2(m_2 g) = m_1 g + mg \)

Сокращаем \(g\) (ускорение свободного падения):

\( 2m_2 = m_1 + m \)

Теперь подставляем известные значения:

• \( m_1 = 3 \text{ кг} \)


• \( m = 1 \text{ кг} \)

\( 2m_2 = 3 \text{ кг} + 1 \text{ кг} \)

\( 2m_2 = 4 \text{ кг} \)

\( m_2 = \frac{4 \text{ кг}}{2} \)

\( m_2 = 2 \text{ кг} \)

Проверка:

Если \(m_2 = 2\) кг, то сила натяжения в нити \(T = 2g\). Эта сила тянет вверх подвижный блок. Подвижный блок поднимает груз \(m_1 = 3\) кг и имеет вес \(m = 1\) кг. Суммарный вес, который нужно поднять, равен \(3g + 1g = 4g\). Сила, действующая вверх, равна \(2T = 2(2g) = 4g\). Силы уравновешены.

Ответ: 2 кг