2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра a: |2|x| − 1| = a?

Положим t = |x|, тогда t ≥ 0. Уравнение принимает вид |2t − 1| = a.

Модуль неотрицателен, поэтому при a < 0 решений нет. При a ≥ 0 раскрываем модуль двумя способами: 2t − 1 = a или 2t − 1 = −a. Получаем t = (1 + a)/2 и t = (1 − a)/2. Учитываем условие t ≥ 0 и то, что каждому положительному t соответствуют два значения x = ±t, а t = 0 даёт одно значение x = 0.

• При a < 0 оба случая невозможны: 0 корней.
• При a = 0 получается t = 1/2, то есть x = ±1/2: 2 корня.
• При 0 < a < 1 оба значения t положительны и различны: 4 корня.
• При a = 1 получаются t = 1 и t = 0: всего 3 корня.
• При a > 1 значение (1 − a)/2 отрицательно, остаётся t = (1 + a)/2: 2 корня.

Ответ: 0 корней при a < 0; 2 при a = 0; 4 при 0 < a < 1; 3 при a = 1; 2 при a > 1.