2). Сколько различных чисел можно составить из цифр 5, 9. 0. 3. если цифры в записи числа не повторяются?

Решение:

У нас есть цифры: 0, 3, 5, 9. Нужно составить различные числа, не повторяя цифры.

Числа могут быть двузначными, трехзначными или четырехзначными.

1. Двузначные числа:

Первая цифра (десятки) не может быть 0. Всего 3 варианта (3, 5, 9).

Вторая цифра (единицы) может быть любой из оставшихся 3 цифр.

Количество двузначных чисел: \( 3 · 3 = 9 \).

2. Трехзначные числа:

Первая цифра (сотни) не может быть 0. Всего 3 варианта (3, 5, 9).

Вторая цифра (десятки) может быть любой из оставшихся 3 цифр (включая 0).

Третья цифра (единицы) может быть любой из оставшихся 2 цифр.

Количество трехзначных чисел: \( 3 · 3 · 2 = 18 \).

3. Четырехзначные числа:

Первая цифра (тысячи) не может быть 0. Всего 3 варианта (3, 5, 9).

Вторая цифра (сотни) может быть любой из оставшихся 3 цифр (включая 0).

Третья цифра (десятки) может быть любой из оставшихся 2 цифр.

Четвертая цифра (единицы) — последняя оставшаяся цифра.

Количество четырехзначных чисел: \( 3 · 3 · 2 · 1 = 18 \).

Общее количество различных чисел:

\( 9 \) (двузначные) + \( 18 \) (трехзначные) + \( 18 \) (четырехзначные) = \( 45 \).

Альтернативный способ подсчета:

Все возможные перестановки из 4 цифр: \( 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 \). Это числа, где 0 может стоять на первом месте.

Числа, начинающиеся с 0 (трехзначные): \( 3! = 3 · 2 · 1 = 6 \).

Общее количество четырехзначных чисел, где 0 не на первом месте: \( 24 - 6 = 18 \).

Теперь рассмотрим двузначные и трехзначные числа. Это сложнее подсчитать таким образом, поэтому первый способ предпочтительнее.

Подсчет с учетом всех вариантов:

Двузначные числа:

Первая цифра: 3, 5, 9 (3 варианта).

Вторая цифра: любая из оставшихся 3.

Итого: \( 3 · 3 = 9 \) чисел.

Трехзначные числа:

Первая цифра: 3, 5, 9 (3 варианта).

Вторая цифра: любая из оставшихся 3 (включая 0).

Третья цифра: любая из оставшихся 2.

Итого: \( 3 · 3 · 2 = 18 \) чисел.

Четырехзначные числа:

Первая цифра: 3, 5, 9 (3 варианта).

Вторая цифра: любая из оставшихся 3 (включая 0).

Третья цифра: любая из оставшихся 2.

Четвертая цифра: последняя оставшаяся 1.

Итого: \( 3 · 3 · 2 · 1 = 18 \) чисел.

Общее количество: \( 9 + 18 + 18 = 45 \) чисел.

Ответ: 45.