2. Сколько существует троек натуральных чисел (a; b; c) таких, что они образуют в указанном [фрагмент условия обрезан] порядке геометрическую прогрессию, а их произведение abc равно 2^150 · 3^300?

Пусть тройки показателей числа 2 в разложениях a, b, c равны A, B, C. Так как числа образуют геометрическую прогрессию, для показателей каждого простого множителя выполняется условие среднего члена: 2B = A + C.

Из условия на произведение следует A + B + C = 150 для простого множителя 2. Поэтому 3B = 150, откуда B = 50? Исправим: из 2B = A + C и A + B + C = 150 получаем 3B = 150, значит B = 50. Тогда A + C = 100, и для A есть 101 неотрицательное целое значение.

Для простого множителя 3 аналогично: сумма показателей равна 300, поэтому средний показатель равен 100, а сумма крайних — 200. Для показателя в a есть 201 неотрицательное целое значение.

Выбор показателей для 2 и 3 независим. Других простых множителей в a, b, c быть не может, поскольку их произведение равно 2¹⁵⁰ · 3³⁰⁰.

Ответ: 101 · 201 = 20 301 тройка.