2. Сократите дробь $$\frac{18^{n+3}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}}$$

Привет! Давай разберёмся с этим примером по шагам.

Разбор задания:

Нужно упростить (сократить) дробь, где есть степени с переменной n.

Решение:

1. Преобразуем основание степени в числителе:

   Число 18 можно представить как произведение 2 и 9, а 9 как 3². То есть, 18 = 2 ⋅ 3².

   Теперь подставим это в числитель:

   18n+3 = (2 ⋅ 32)n+3

   Используя свойство степеней (a ⋅ b)m = am ⋅ bm, получим:

   (2 ⋅ 32)n+3 = 2n+3 ⋅ (32)n+3

   Дальше используем свойство (am)p = am ⋅ p:

   2n+3 ⋅ 32 ⋅ (n+3) = 2n+3 ⋅ 32n+6

2. Подставим преобразованный числитель в дробь:

   Теперь наша дробь выглядит так:

   \[ \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} \]

3. Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:am / ap = am-p

   Сначала разберём степени с основанием 3:

   32n+6 / 32n+5 = 3(2n+6) - (2n+5) = 32n + 6 - 2n - 5 = 31 = 3

   Теперь разберём степени с основанием 2:

   2n+3 / 2n-2 = 2(n+3) - (n-2) = 2n + 3 - n + 2 = 25

   Вычислим 2⁵:

   25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32

4. Перемножим полученные результаты:

   У нас осталось:

   3 ⋅ 32

   3 ⋅ 32 = 96

Ответ: 96