2. Сопротивление каждого из проводников, соединённых в квадрат, и проводников, образующих диагонали квадрата, равно r. Определите эквивалентное сопротивление при подключении источника тока: 1) к соседним вершинам; 2) к вершинам, лежащим на одной диагонали. В точке пересечения диагоналей контакта нет.

Решение:

Рассмотрим квадрат ABCD, где сопротивления всех сторон и диагоналей равны r.

1. Подключение к соседним вершинам (например, A и B):

1. Симметрия: Из-за симметрии цепи ток, входящий в вершину A, разделится поровну между двумя путями:
• Путь 1: Через сторону AB (сопротивление r).
• Путь 2: Через сторону AD (сопротивление r), затем через сторону DC (сопротивление r), и затем через сторону CB (сопротивление r) к точке B.
2. Эквивалентное сопротивление пути 2: Это последовательное соединение трех сопротивлений r, следовательно, R_путь2 = r + r + r = 3r.
3. Параллельное соединение: Путь 1 (сопротивление r) и Путь 2 (сопротивление 3r) соединены параллельно.
4. Расчет общего сопротивления: Используем формулу для параллельного соединения:

Rэкв = (R1 * R2) / (R1 + R2)

Rэкв = (r * 3r) / (r + 3r) = 3r² / 4r = 3r / 4

2. Подключение к вершинам, лежащим на одной диагонали (например, A и C):

1. Разветвление тока: Ток, входящий в вершину A, разделится по двум диагоналям:
• Путь 1: Через диагональ AC (сопротивление r).
• Путь 2: Через сторону AB (сопротивление r), затем через сторону BC (сопротивление r), и затем через диагональ CA (сопротивление r) к точке C.
2. Эквивалентное сопротивление пути 2: Последовательное соединение трех сопротивлений r, следовательно, R_путь2 = r + r + r = 3r.
3. Параллельное соединение: Путь 1 (сопротивление r) и Путь 2 (сопротивление 3r) соединены параллельно.
4. Расчет общего сопротивления: Используем ту же формулу для параллельного соединения:

Rэкв = (R1 * R2) / (R1 + R2)

Rэкв = (r * 3r) / (r + 3r) = 3r² / 4r = 3r / 4

Ответ:

• 1. Эквивалентное сопротивление при подключении к соседним вершинам: 3r / 4.
• 2. Эквивалентное сопротивление при подключении к вершинам на одной диагонали: 3r / 4.