№ 2. Составить «Дано» и доказать, что ABCD — параллелограмм. На рисунке проведена диагональ BD; отмечено, что ∠ABD = ∠BDC и ∠BAD = ∠BCD.

Дано: ABCD — четырёхугольник, BD — диагональ, ∠ABD = ∠BDC, ∠BAD = ∠BCD.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. По условию ∠ABD = ∠BDC и ∠BAD = ∠BCD.
2. Тогда третьи углы этих треугольников равны: ∠ADB = ∠CBD, поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180°.
3. Значит, треугольники ABD и CDB подобны по двум углам. При этом стороне BD первого треугольника соответствует сторона DB второго, а BD = DB. Поэтому коэффициент подобия равен 1, и треугольники равны.
4. Из равенства треугольников получаем AB = CD и AD = CB. Следовательно, в четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон равны.
5. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.