Ответ:

Кое-кто не хотел отставать от класса. Никто не запрещал ребятам общаться, но инициатива должна была исходить от них. Некоторые ученики волновались, несмотря на подготовку. Никто не знал, как подступиться к задаче, но кое-кто предложил помощь.

Местоимение: никто. Глагол: предложил.