Пошаговое решение:
- Мне нездоровится — безударная гласная в корне слова, проверяется словом "здоров". Не с глаголами пишется раздельно, если есть противопоставление или усиление отрицания. Здесь нет противопоставления, поэтому пишем слитно.
- он учится — глагол 3-го лица, ед. ч., наст. вр., 1 спр. Окончание -ит. Постфикс -ся.
- надо учиться — инфинитив глагола. Постфикс -ся.
- не был — глагол в прошедшем времени. Не с глаголами в прошедшем времени пишется раздельно.
- не хочет — глагол 3-го лица, ед. ч., наст. вр., 2 спр. Окончание -ет. Не с глаголами пишется раздельно, если есть противопоставление или усиление отрицания. Здесь нет противопоставления, поэтому пишем раздельно.
- не годуешь — глагол 2-го лица, ед. ч., наст. вр., 1 спр. Окончание -ешь. Не с глаголами пишется раздельно, если есть противопоставление или усиление отрицания. Здесь нет противопоставления, поэтому пишем раздельно.
- надо надеяться — инфинитив глагола. Постфикс -ся.
- не навидеть — глагол-исключение, который с не пишется слитно.
- не течёт — глагол 3-го лица, ед. ч., наст. вр., 1 спр. Окончание -ёт. Не с глаголами пишется раздельно, если есть противопоставление или усиление отрицания. Здесь нет противопоставления, поэтому пишем раздельно.
- не смог — глагол в прошедшем времени. Не с глаголами в прошедшем времени пишется раздельно.
- не следует — глагол 3-го лица, ед. ч., наст. вр., 1 спр. Окончание -ет. Не с глаголами пишется раздельно, если есть противопоставление или усиление отрицания. Здесь нет противопоставления, поэтому пишем раздельно.
- не расскажешь — глагол 2-го лица, ед. ч., буд. вр., 1 спр. Окончание -ешь. Не с глаголами пишется раздельно, если есть противопоставление или усиление отрицания. Здесь нет противопоставления, поэтому пишем раздельно.
- не будем — глагол в будущем времени. Не с глаголами в будущем времени пишется раздельно.
- состязаться — инфинитив глагола. Постфикс -ся.
Ответ: Мне нездоровится, он учится, надо учиться, не был, не хочет, не годуешь, надо надеяться, ненавидить, не течёт, не смог, не следует, не расскажешь, не будем, состязаться.