2) \(\sqrt{32a^8};\)

Решение:

Чтобы упростить выражение под корнем, разложим число 32 на множители и используем свойства степеней:

1. Разложим 32 на простые множители: \( 32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 \).
2. Выделим полный квадрат из \( 2^5 \): \( 2^5 = 2^4 \cdot 2 = (2^2)^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 \).
3. Применим свойство квадратного корня \( \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \) и \( \sqrt{x^2} = |x| \):

\[ \sqrt{32a^8} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot a^8} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^8} \]

\[ \sqrt{16} = 4 \]

\[ \sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| = a^4 \] (так как \( a^4 \) всегда неотрицательно).

Объединим полученные результаты:

\[ 4 \cdot \sqrt{2} \cdot a^4 = 4a^4\sqrt{2} \]