2) Среди любых 9 ручек обязательно найдётся 3 чёрных ручки. 3) Если достать 5 ручек, то все они могут оказаться одного цвета. 4) Среди любых 10 ручек обязательно найдётся 2 синих ручки. Ответ: 234

Решение:

Для решения этих задач будем использовать принцип Дирихле.

• 2) Среди любых 9 ручек обязательно найдётся 3 чёрных ручки.

  Если бы это было не так, то в худшем случае мы могли бы вытащить максимум 2 чёрных ручки. Допустим, у нас есть 3 цвета ручек: чёрный, синий и красный. Максимальное количество ручек, которое мы можем вытащить, не получив 3 чёрных, будет 2 чёрных + максимальное количество ручек других цветов. Чтобы гарантированно получить 3 чёрных, нам нужно вытащить больше, чем количество ручек других цветов плюс 2. Если предположить, что есть только черные и синие ручки, то максимум 2 черных + 1 синяя = 3 ручки. Если вытащить 4, то обязательно будет 3 черных. Если есть 3 цвета, то максимум 2 черных + 2 синих + 2 красных = 6 ручек. Если вытащить 7, то обязательно будет 3 черных. В задаче сказано, что среди любых 9 ручек найдется 3 черных. Пусть будет 2 чёрных, 2 синих, 2 красных, 2 зеленых. Это 8 ручек. Тогда 9-я ручка должна быть либо черной, либо синей, либо красной, либо зеленой. Если предположить, что черных ручек не 3, то может быть максимум 2 черных. Остальные 7 ручек должны быть других цветов. Если у нас есть только 2 цвета (черный и синий), то максимум 2 черных + 1 синяя = 3. Тогда 4-я ручка будет 3-й черной. Если у нас есть 3 цвета (черный, синий, красный), то максимум 2 черных + 2 синих + 2 красных = 6. Тогда 7-я ручка будет 3-й черной. Если у нас есть 4 цвета, то максимум 2 черных + 2 синих + 2 красных + 2 зеленых = 8. Тогда 9-я ручка будет 3-й черной. Таким образом, для гарантии 3 черных ручек, нужно иметь 2 ручки каждого другого цвета (пусть их k цветов). Тогда общее количество ручек будет 2*k + 3. В данном случае, если 9 ручек, то 9-3=6 ручек других цветов. Значит, 6 ручек других цветов + 3 черных = 9. Это означает, что может быть 2 черных, 2 синих, 2 красных, 2 зеленых, 1 желтая (всего 9). Если бы было 8 ручек, то могли бы быть 2 черных, 2 синих, 2 красных, 2 зеленых. То есть 9-я ручка могла бы быть черной. Ответ 234 связан с задачей 2, 3, 4. Ответ 3 — это ответ на первую часть. 234 - это ответ на задачу 2, 3, 4.

• 3) Если достать 5 ручек, то все они могут оказаться одного цвета.

  Это означает, что существует хотя бы один цвет, которого в общей сложности 5 или более ручек. Например, если всего 5 черных ручек, то можно вытащить все 5 черных. Если черных 4, а синих 5, то можно вытащить 5 синих.

• 4) Среди любых 10 ручек обязательно найдётся 2 синих ручки.

  Для того, чтобы гарантированно найти 2 синих ручки, нам нужно рассмотреть худший сценарий, когда мы сначала вытаскиваем все ручки, которые не являются синими, а затем начинаем вытаскивать синие. Если бы у нас было, например, 3 чёрных, 3 красных, 3 зелёных ручки (всего 9 не синих), то 10-я ручка обязательно была бы синей. Но нам нужно гарантировать 2 синих. Значит, количество не синих ручек должно быть максимум 1. Если есть 1 не синяя ручка, то 2-я синяя будет гарантирована. Но в условии сказано "среди любых 10". Это значит, что мы вытаскиваем 10 ручек. Если мы хотим гарантировать 2 синих, то максимум не синих ручек должно быть 1. Если бы у нас было 1 черная ручка, то 2-я синяя была бы гарантирована. Но условие означает, что количество ручек, не являющихся синими, должно быть меньше 2 (т.е. 0 или 1). Тогда общее количество ручек будет 1 (не синяя) + 2 (синие) = 3. Если мы вытаскиваем 10 ручек, и у нас есть 2 синих, то значит, что количество не синих ручек меньше 9. То есть, если бы было 9 не синих ручек, то 10-я была бы синей. Чтобы гарантировать 2 синих, нужно, чтобы количество не синих было максимум 1. Тогда общее количество ручек = 1 (не синяя) + 2 (синие) = 3. Если мы вытаскиваем 10 ручек, то максимум не синих ручек должно быть 8. То есть, 8 не синих + 2 синих = 10. Значит, не синих ручек может быть 8. Например, 8 черных ручек. Тогда 9-я и 10-я будут синими.

Ответ: 234