2. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

Пусть CD = a. Тогда AD = 2a, а поскольку M — середина AD, AM = MD = a. В параллелограмме AB = CD = a, следовательно, AB = AM.

Рассмотрим треугольник ABM. Из AB = AM следует, что ∠ABM = ∠BMA.

Так как AB ∥ CD, а A, M, D лежат на одной прямой, угол между AB и BM равен углу между CD и CM: ∠ABM = ∠DCM. Также ∠BMA = ∠BMC, поскольку лучи MA и MC направлены противоположно лучам MD и? Уточним удобнее через параллельность: ∠BMA — угол между MB и MA; равен ему вертикальный/смежный угол при продолжениях линий. Из AB ∥ CD и AD ∥ BC следует, что ∠BCM = ∠BMA (угол между BC и CM равен углу между AD и BM не следует напрямую из данных). Проверим утверждение координатно: зададим D=(0,0), A=(2a,0), C=(u,v), B=(u+2a,v), M=(a,0). Условие CD=a означает u²+v²=a². Векторы из C: CD=(-u,-v), CB=(2a,0), CM=(a-u,-v). Для CM быть биссектрисой угла между CD и CB достаточно равенства углов, эквивалентного равенству проекций единичных направлений: внутренний биссектор направлен как CD/a + CB/(2a)=(-u/a,-v/a)+(1,0)=((a-u)/a,-v/a), то есть параллелен CM. Значит, CM — биссектриса.

Итак, направления CD и CB образуют внутреннюю биссектрису, параллельную CM; поскольку луч CM начинается в вершине C и лежит внутри угла BCD, получаем требуемое утверждение.