2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2 см, а высота пирамиды - √15 см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

У нас есть правильная четырёхугольная пирамида. Это значит, что в основании лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Дано:

• Сторона основания ($$a$$) = 2 см
• Высота пирамиды ($$H$$) = $$ \textrm{√}15 $$ см

Найти:

• 1) Боковое ребро ($$l$$)
• 2) Площадь боковой поверхности ($$S_{бок}$$)

1) Находим боковое ребро пирамиды:

Для этого нам понадобится апофема (высота боковой грани) или мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности в основание (или половиной стороны основания, так как основание - квадрат) и боковым ребром.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:

• Один катет - высота пирамиды $$H = \textrm{√}15$$ см.
• Второй катет - половина стороны основания, т.к. в основании квадрат: $$ \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ см.
• Гипотенуза - боковое ребро $$l$$.

По теореме Пифагора:

\[ l^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ l^2 = (\textrm{√}15)^2 + 1^2 \]\[ l^2 = 15 + 1 \]\[ l^2 = 16 \]\[ l = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \]Итак, боковое ребро пирамиды равно 4 см.

2) Находим площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (высоту боковой грани).

Сначала найдем апофему ($$h_a$$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($$H$$), радиусом вписанной окружности в основание (который равен половине стороны квадрата, т.е. 1 см) и апофемой ($$h_a$$) как гипотенузой.

\[ h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ h_a^2 = (\textrm{√}15)^2 + 1^2 \]\[ h_a^2 = 15 + 1 \]\[ h_a^2 = 16 \]\[ h_a = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \]Апофема равна 4 см.

Теперь найдем периметр основания:

\[ P_{осн} = 4 \times a = 4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см} \]Площадь боковой поверхности:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times h_a \]\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2 \]Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна 16 см².

Ответ: 1) 4 см; 2) 16 см²