2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды — √13 см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.
• Сторона основания $$a = 6$$ см.
• Высота пирамиды $$H = \sqrt{13}$$ см.

Найти:

1. Боковое ребро пирамиды ($$l$$).
2. Площадь боковой поверхности пирамиды ($$S_{бок}$$).

Решение:

1) Найдём боковое ребро пирамиды ($$l$$):

1. Найдём апофему пирамиды ($$h_a$$):
   В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Центр основания (точка пересечения медиан) удалён от вершины стороны на расстоянии $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$.
   \[ r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ см} \]
   Апофема ($$h_a$$), высота пирамиды ($$H$$) и радиус окружности, вписанной в основание ($$r$$), образуют прямоугольный треугольник.
   \[ h_a^2 = H^2 + r^2 \]
   \[ h_a^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{3})^2 \]
   \[ h_a^2 = 13 + 3 = 16 \]
   \[ h_a = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \]
2. Найдём боковое ребро пирамиды ($$l$$):
   Боковое ребро ($$l$$), апофема ($$h_a$$) и половина стороны основания ($$a/2$$) образуют прямоугольный треугольник.
   \[ l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 \]
   \[ l^2 = 4^2 + (\frac{6}{2})^2 \]
   \[ l^2 = 16 + 3^2 \]
   \[ l^2 = 16 + 9 = 25 \]
   \[ l = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

2) Найдём площадь боковой поверхности пирамиды ($$S_{бок}$$):

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

Найдём периметр основания:
\[ P_{осн} = 3 \times a = 3 \times 6 = 18 \text{ см} \]

Вычислим площадь боковой поверхности:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times h_a \]
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 18 \times 4 \]
\[ S_{бок} = 9 \times 4 = 36 \text{ см}^2 \]

Ответ: 1) 5 см; 2) 36 см$$^2$$.