2) Стороны основания правильной пирамиды равны 6 см, а высота √13 см. Найти площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

2. Дано:

• Правильная пирамида.
• Сторона основания (a) = 6 см.
• Высота пирамиды (H) = /uploads/math_formula_1716290216896.svg см.

Найти:

• Площадь боковой поверхности (S_бок).
• Объем пирамиды (V).

Решение:

1. Находим апофему (h_a):

   У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник (в данном случае квадрат, так как указана одна сторона, и подразумевается, что это правильная пирамида с квадратным основанием). Апофема — это высота боковой грани. Она находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (который равен половине стороны основания).

   \[ h_a = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} \]

   \[ h_a = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + (6/2)^2} = \sqrt{13 + 3^2} = \sqrt{13 + 9} = \sqrt{22} \text{ см} \]

2. Находим площадь боковой поверхности (S_бок):

   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

   Периметр основания (P):

   \[ P = 4 \times a = 4 \times 6 = 24 \text{ см} \]

   Площадь боковой поверхности:

   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times P \times h_a = \frac{1}{2} \times 24 \times \sqrt{22} = 12 \sqrt{22} \text{ см}^2 \]

3. Находим площадь основания (S_осн):

   \[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \]

4. Находим объем пирамиды (V):

   Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

   \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times H \]

   \[ V = \frac{1}{3} \times 36 \times \sqrt{13} = 12 \sqrt{13} \text{ см}^3 \]

Ответ:

• Площадь боковой поверхности: 12√22 см².
• Объем пирамиды: 12√13 см³.