2. Тело движется вдоль оси Ох. По приведенной зависимости проекции скорости тела от времени vx(t) постройте графики зависимостей от времени для: координаты x(t), пройденного пути l(t), средней путевой скорости vcp(t); и зависимости от координаты для: модуля скорости тела v(x).

Решение

Для начала, давайте проанализируем график зависимости проекции скорости от времени $$v_x(t)$$:

• С $$t=0$$ до $$t=1$$ с, $$v_x = 4$$ м/с.
• С $$t=1$$ до $$t=2$$ с, $$v_x = 0$$ м/с.
• С $$t=2$$ до $$t=3$$ с, $$v_x = -2$$ м/с.
• С $$t=3$$ до $$t=4$$ с, $$v_x = 0$$ м/с.

Предположим, что начальная координата $$x(0) = 0$$.

1. График координаты $$x(t)$$

Координата находится как интеграл от скорости по времени: $$x(t) = \int v_x(t) dt$$.

• С $$t=0$$ до $$t=1$$ с: $$x(t) = \int 4 dt = 4t + C$$. Так как $$x(0) = 0$$, то $$C=0$$. Следовательно, $$x(t) = 4t$$. В $$t=1$$ с, $$x(1) = 4 \times 1 = 4$$ м.
• С $$t=1$$ до $$t=2$$ с: $$v_x = 0$$, значит, тело покоится. Координата не меняется. $$x(t) = x(1) = 4$$ м.
• С $$t=2$$ до $$t=3$$ с: $$x(t) = \int -2 dt = -2t + C$$. Так как $$x(2) = 4$$, то $$4 = -2 \times 2 + C \rightarrow C = 8$$. Следовательно, $$x(t) = -2t + 8$$. В $$t=3$$ с, $$x(3) = -2 \times 3 + 8 = 2$$ м.
• С $$t=3$$ до $$t=4$$ с: $$v_x = 0$$, значит, тело покоится. Координата не меняется. $$x(t) = x(3) = 2$$ м.

График $$x(t)$$ будет иметь следующий вид:

2. График пройденного пути $$l(t)$$

Пройденный путь – это суммарное расстояние, которое тело преодолело, независимо от направления. Он равен интегралу от модуля скорости:

$$l(t) = \int |v_x(t)| dt$$

• С $$t=0$$ до $$t=1$$ с: $$|v_x| = 4$$ м/с. $$l(t) = \int 4 dt = 4t$$. В $$t=1$$ с, $$l(1) = 4$$ м.
• С $$t=1$$ до $$t=2$$ с: $$|v_x| = 0$$ м/с. $$l(t) = l(1) = 4$$ м.
• С $$t=2$$ до $$t=3$$ с: $$|v_x| = |-2| = 2$$ м/с. $$l(t) = l(2) + \int_{2}^{t} 2 dt = 4 + 2(t-2)$$. В $$t=3$$ с, $$l(3) = 4 + 2(3-2) = 4 + 2 = 6$$ м.
• С $$t=3$$ до $$t=4$$ с: $$|v_x| = 0$$ м/с. $$l(t) = l(3) = 6$$ м.

График $$l(t)$$ будет иметь следующий вид:

3. График средней путевой скорости $$v_{cp}(t)$$

Средняя путевая скорость равна пройденному пути, деленному на время: $$v_{cp}(t) = \frac{l(t)}{t}$$.

• С $$t=0$$ до $$t=1$$ с: $$v_{cp}(t) = \frac{4t}{t} = 4$$ м/с.
• С $$t=1$$ до $$t=2$$ с: $$v_{cp}(t) = \frac{4}{t}$$. При $$t=1$$, $$v_{cp}=4$$. При $$t=2$$, $$v_{cp}=2$$.
• С $$t=2$$ до $$t=3$$ с: $$v_{cp}(t) = \frac{4 + 2(t-2)}{t} = \frac{4 + 2t - 4}{t} = \frac{2t}{t} = 2$$ м/с.
• С $$t=3$$ до $$t=4$$ с: $$v_{cp}(t) = \frac{6}{t}$$. При $$t=3$$, $$v_{cp}=2$$. При $$t=4$$, $$v_{cp}=1.5$$.

График $$v_{cp}(t)$$ будет иметь следующий вид:

4. График модуля скорости $$v(x)$$

Модуль скорости $$v(x)$$ – это зависимость $$|v_x|$$ от координаты $$x$$. Нам нужно построить график $$|v_x|$$ как функцию от $$x$$.

• С $$t=0$$ до $$t=1$$ с: $$v_x = 4$$ м/с. Координата меняется от $$x=0$$ до $$x=4$$ м. В этом интервале $$|v_x|=4$$ м/с.
• С $$t=1$$ до $$t=2$$ с: $$v_x = 0$$ м/с. Координата $$x=4$$ м. В этом интервале $$|v_x|=0$$ м/с.
• С $$t=2$$ до $$t=3$$ с: $$v_x = -2$$ м/с. Координата меняется от $$x=4$$ м до $$x=2$$ м. В этом интервале $$|v_x|=2$$ м/с.
• С $$t=3$$ до $$t=4$$ с: $$v_x = 0$$ м/с. Координата $$x=2$$ м. В этом интервале $$|v_x|=0$$ м/с.

График $$v(x)$$ будет иметь следующий вид:

Ответ: Построены графики зависимостей координаты от времени $$x(t)$$, пройденного пути от времени $$l(t)$$, средней путевой скорости от времени $$v_{cp}(t)$$ и модуля скорости от координаты $$v(x)$$.