2) Теорема об окружности, описанной около треугольника, формулировка и доказательство.

Теорема об окружности, описанной около треугольника:

Формулировка: Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Доказательство:

1. Построение серединных перпендикуляров:
• Проведем серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника, например, к сторонам AB и BC.
• Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная ему.
• Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Проведем прямые $$m \bot AB$$ через M и $$n \bot BC$$ через N.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров:
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку как O.
• Докажем это. Предположим, что прямые $$m$$ и $$n$$ параллельны. Тогда AB и BC были бы параллельны, что невозможно для сторон треугольника. Следовательно, они пересекаются.
3. Равенство расстояний от точки O до вершин:
• Точка O лежит на серединном перпендикуляре $$m$$ к стороне AB. По свойству серединного перпендикуляра, любая точка на нем равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $$OA = OB$$.
• Точка O лежит также на серединном перпендикуляре $$n$$ к стороне BC. Следовательно, $$OB = OC$$.
• Из равенств $$OA = OB$$ и $$OB = OC$$ следует, что $$OA = OB = OC$$.
4. Построение окружности:
• Возьмем точку O как центр и расстояние OA (или OB, OC) как радиус. Построим окружность.
• Все три вершины треугольника (A, B, C) находятся на одинаковом расстоянии от точки O, поэтому они лежат на этой окружности.
• Эта окружность является описанной около треугольника ABC.
5. Единственность окружности:
• Предположим, существует другая окружность с центром O' и радиусом R', описанная около того же треугольника ABC.
• Тогда O' должна лежать на серединных перпендикулярах ко всем сторонам треугольника (по той же логике, что и O).
• Но серединные перпендикуляры пересекаются в единственной точке, поэтому O' совпадает с O.
• Аналогично, радиус R' должен быть равен OA (так как O'A = R'), следовательно R' = OA = R.
• Таким образом, окружность единственна.

Вывод: Теорема доказана.