2. Тип 13 № 101 a) Решите уравнение tg²x+5tgx+6=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

Решение уравнения:

Это квадратное уравнение относительно tg x. Сделаем замену переменной: пусть y = tg x.

Уравнение примет вид:

• \[ y^2 + 5y + 6 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 \]
• \[ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2 · 1} = \frac{-6}{2} = -3 \]
• \[ y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2 · 1} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь вернемся к замене y = tg x:

• Случай 1: [ tg x = -3 \]
• Случай 2: [ tg x = -2 \]

Общее решение для каждого случая:

• [ x = πn + αrc tg(-3) \]
• [ x = πn + αrc tg(-2) \]

где n — любое целое число.

Нахождение корней на отрезке [-2π; -π/2]:

Нам нужно найти такие значения n, при которых корни попадают в указанный интервал.

Для tg x = -3:

Значение αrc tg(-3) находится в интервале (-π/2, 0). Обозначим его как α.

Подставим разные значения n:

• При n = -1: [ x = -π + αrc tg(-3) \]. Это значение попадает в интервал (-3π/2, -π), что меньше -2π.
• При n = -2: [ x = -2π + αrc tg(-3) \]. Поскольку [ αrc tg(-3) \] отрицательный, это значение будет в интервале (-2π, -3π/2). Это значение находится в нашем отрезке [-2π; -π/2].
• При n = -3: [ x = -3π + αrc tg(-3) \]. Это значение меньше -2π.

Для tg x = -2:

Аналогично, значение αrc tg(-2) находится в интервале (-π/2, 0). Обозначим его как β.

Подставим разные значения n:

• При n = -2: [ x = -2π + αrc tg(-2) \]. Так как [ αrc tg(-2) \] отрицательный, это значение будет в интервале (-2π, -3π/2). Это значение находится в нашем отрезке [-2π; -π/2].

Важное уточнение:

αrc tg(a) возвращает значение в диапазоне (-π/2, π/2).

Для tg x = -3, αrc tg(-3) ≈ -1.249 радиан.

Для tg x = -2, αrc tg(-2) ≈ -1.107 радиан.

Отрезок: [ [-2π; -π/2] ≈ [-6.283; -1.571] \]

Проверяем значения x = πn + αrc tg(-3):

• [ n = -1: -π + αrc tg(-3) ≈ -3.141 - 1.249 = -4.39 \] (не подходит)
• [ n = -2: -2π + αrc tg(-3) ≈ -6.283 - 1.249 = -7.532 \] (не подходит)

Проверяем значения x = πn + αrc tg(-2):

• [ n = -1: -π + αrc tg(-2) ≈ -3.141 - 1.107 = -4.248 \] (не подходит)
• [ n = -2: -2π + αrc tg(-2) ≈ -6.283 - 1.107 = -7.39 \] (не подходит)

Пересмотрим подход.

Общее решение:

• [ tg x = -3 ⇒ x = πn - αrc tg(3) \]
• [ tg x = -2 ⇒ x = πn - αrc tg(2) \]

где αrc tg(3) ≈ 1.249 и αrc tg(2) ≈ 1.107.

Интервал: [ [-2π; -π/2] ≈ [-6.283; -1.571] \]

Для tg x = -3:

• [ n = -1: x = -π - αrc tg(3) ≈ -3.141 - 1.249 = -4.39 \]. Это значение попадает в наш интервал.
• [ n = -2: x = -2π - αrc tg(3) ≈ -6.283 - 1.249 = -7.532 \] (не подходит).

Для tg x = -2:

• [ n = -1: x = -π - αrc tg(2) ≈ -3.141 - 1.107 = -4.248 \]. Это значение попадает в наш интервал.
• [ n = -2: x = -2π - αrc tg(2) ≈ -6.283 - 1.107 = -7.39 \] (не подходит).

Финальная проверка:

График тангенса показывает, что на интервале (-π, -π/2) функция проходит через значения -2 и -3.

Таким образом, корни на заданном отрезке:

• [ x_1 = -π - αrc tg(3) \]
• [ x_2 = -π - αrc tg(2) \]

Ответ:

а) tg x = -3 или tg x = -2

б) x = -π - αrc tg(3), x = -π - αrc tg(2)