2. Тип 16 № 142/ В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла ОАВ.

Решение:

Привет! Давай разберем эту задачу по геометрии вместе.

1. Анализируем условие:

• У нас есть окружность с центром в точке O.


• AD и BC — это диаметры. Это значит, что они проходят через центр O и делят окружность пополам.


• Угол OCD равен 30°.


• Нам нужно найти величину угла OAB.

2. Используем свойства окружности и треугольников:

• Треугольник OCD: Так как OC и OD — это радиусы одной окружности, то треугольник OCD — равнобедренный (OC = OD). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, угол ODC = угол OCD = 30°.


• Угол CAD: Угол CAD является вписанным углом, опирающимся на дугу CD. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — это угол COD. В равнобедренном треугольнике OCD сумма углов равна 180°, поэтому угол COD = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.


• Угол ODC: Угол ODC равен 30° (как мы уже выяснили).


• Угол CAD = Угол COD / 2 = 120° / 2 = 60°.


• Треугольник OAB: Так как OA и OB — это радиусы, то треугольник OAB — равнобедренный (OA = OB).


• Угол OAB и угол OBA равны.


• Угол AOD: Углы COD и AOD — смежные, так как AC — диаметр. Их сумма равна 180°. Поэтому угол AOD = 180° - угол COD = 180° - 120° = 60°.


• Угол OAD: В равнобедренном треугольнике OAD (OA = OD — радиусы), углы при основании равны. Так как угол AOD = 60°, то угол OAD = угол ODA = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°.


• Таким образом, треугольник OAD является равносторонним, все его углы равны 60°.


• Угол OAB: Мы нашли, что угол OAD = 60°. Так как AD — диаметр, а OA и OB — радиусы, то угол OAB совпадает с углом OAD.

3. Формулируем ответ:

• Угол OCD = 30°.


• Так как OC = OD (радиусы), то треугольник OCD равнобедренный, значит, угол ODC = 30°.


• Угол COD = 180° - (30° + 30°) = 120°.


• Углы AOD и COD — смежные, значит, угол AOD = 180° - 120° = 60°.


• Так как OA = OD (радиусы), то треугольник OAD равнобедренный. Угол OAD = (180° - 60°) / 2 = 60°.


• Угол OAB равен углу OAD, так как точки B и D лежат на одной прямой BC, проходящей через центр O, и OA является общей стороной.

Ответ: 60°