2. Точка D лежит на отрезке AB, причем BD : BA = 1 : 4. Через точку A проведена плоскость α, а через точку D — отрезок DD₁, параллельный α. Прямая BD₁ пересекает плоскость α в точке C. а) Докажите подобие треугольников DB D₁ и ABC. б) Найдите DD₁, если AC = 12 см.

а) Точки A, B, D лежат на одной прямой, а B, C, D₁ — на одной прямой. Все эти точки задают плоскость ABC; в ней пересечение с плоскостью α — прямая AC. Поскольку DD₁ параллелен α и лежит в плоскости ABC, имеем DD₁ ∥ AC.

У треугольников DB D₁ и ABC: ∠DBD₁ = ∠ABC, поскольку их стороны лежат на одних прямых, и ∠DD₁B = ∠ACB, поскольку DD₁ ∥ AC, а D₁B лежит на CB. Следовательно, треугольники подобны по двум углам, при соответствии D ↔ A, B ↔ B, D₁ ↔ C.

б) Из отношения BD : BA = 1 : 4 получаем коэффициент подобия меньшего треугольника к большему: BD/BA = 1/4. Соответствующие стороны DD₁ и AC относятся так же:

DD₁/AC = 1/4, поэтому DD₁ = 12 · 1/4 = 3 см.

Ответ: а) △DBD₁ ∼ △ABC; б) DD₁ = 3 см.