2. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Решение:

1. Анализ условия:

   Имеется равнобедренный треугольник. В него вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 3 см и 4 см, считая от основания.

2. Свойства касательных и точек касания:

   Из точки, не лежащей на окружности, проведены две касательные к окружности, то длина отрезков от этой точки до точек касания равны. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Обозначим вершины треугольника как А (вершина), В и С (основание). Пусть точка касания на стороне АВ будет D, а точка касания на стороне АС будет E, и точка касания на основании ВС будет F. Точка касания F делит основание ВС. Точки D и E делят боковые стороны. По условию, отрезки от основания равны 3 см, а второй отрезок - 4 см. Это означает, что BF = FC = 3 см. И отрезок от вершины до точки касания на боковой стороне равен 4 см. Например, AD = AE = 4 см.

3. Нахождение сторон треугольника:

   Основание ВС = BF + FC = 3 см + 3 см = 6 см.

   Боковая сторона AB = AD + DB. DB - это отрезок от вершины B до точки касания D. Так как BF = 3 см (от основания до точки касания F), а в равнобедренном треугольнике касательные, проведенные из вершины основания к вписанной окружности, равны, то DB = BF = 3 см.

   Следовательно, боковая сторона AB = AD + DB = 4 см + 3 см = 7 см.

   Так как треугольник равнобедренный, то AC = AB = 7 см.

4. Вычисление периметра:

   Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

   P = AB + AC + BC = 7 см + 7 см + 6 см = 20 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 20 см.