2. Точка M — середина стороны CD параллелограмма ABCD. Расстояние от вершины B данного параллелограмма до прямой AM равно 7. Найдите длину стороны AD, если известно, что ∠MAD = 30°.

Пусть \(AD=a\), а \(CD=AB=b\). Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(a,0)\), а вектор \(AB\) направим под углом \(\theta\) к AD. Тогда \(B=(b\cos\theta,b\sin\theta)\), а поскольку M — середина CD, \(M=(a+ frac b2\cos\theta, frac b2\sin\theta)\).

Условие \(\angle MAD=30^\circ\) означает, что прямая AM образует с AD угол 30°. Следовательно, \( frac b2\sin\theta=(a+ frac b2\cos\theta)\tan30^\circ\), откуда \(b\sin\theta=2a\tan30^\circ+b\cos\theta\).

Расстояние от B до прямой AM равно 7. Поскольку M лежит на AM, это расстояние можно выразить через площадь параллелограмма: \(d(B,AM)=\dfrac{|\overrightarrow{AM}\times\overrightarrow{AB}|}{|AM|}=\dfrac{ab\sin\theta}{|AM|}\). Из угла наклона AM следует \(|AM|=\sqrt3(a+ frac b2\cos\theta)\). Подстановка связи для \(b\sin\theta\) даёт \(7=\dfrac{2a}{3}\).

Значит, \(AD=a=10.5\).

Ответ: \(AD=10.5\).