2. Точка О является серединой стороны CD квадрата АBCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 3√5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Обозначим сторону квадрата как \( a \).

Точка О — середина стороны CD. Значит, \( OC = OD = \frac{a}{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOC \).

Катеты треугольника: \( OC = \frac{a}{2} \) и \( AC = a \) (так как \( AC \) — сторона квадрата).

Гипотенуза \( OA \) — это радиус окружности, который равен \( 3\sqrt{5} \).

По теореме Пифагора:

\[ OA^2 = OC^2 + AC^2 \]

\[ (3\sqrt{5})^2 = (\frac{a}{2})^2 + a^2 \]

\[ 45 = \frac{a^2}{4} + a^2 \]

\[ 45 = \frac{a^2 + 4a^2}{4} \]

\[ 45 = \frac{5a^2}{4} \]

\[ 180 = 5a^2 \]

\[ a^2 = \frac{180}{5} = 36 \]

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).

Ответ: Площадь квадрата равна 36.