2. Точка пересечения медиан АМ и ВК треугольни-ка АВС является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник АВС равносторонний. 29

Решение:

• Дано: Треугольник АВС. AM и BK – медианы. Точка пересечения медиан (центр описанной окружности).
• Доказать: Треугольник АВС – равносторонний.
• Доказательство:
• В любом треугольнике центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• В любом треугольнике точка пересечения медиан (центроид) является центром тяжести, который делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.
• Если центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, это означает, что расстояние от этой точки до всех вершин одинаково.
• Пусть O – точка пересечения медиан AM и BK. По условию, O – центр описанной окружности.
• Следовательно, OA = OB = OC (радиусы описанной окружности).
• Так как O – центр описанной окружности, то OA = OB. Это означает, что треугольник AOB – равнобедренный.
• Так как O – точка пересечения медиан, то AO = 2 * OM и BO = 2 * OK.
• Из OA = OB следует, что 2 * OM = 2 * OK, то есть OM = OK.
• Рассмотрим треугольник ABC. Медианы AM и BK пересекаются в точке O.
• Если OA = OB, то треугольник ABC не обязательно равносторонний (например, равнобедренный).
• Однако, если точка пересечения медиан (центроид) совпадает с центром описанной окружности, это возможно только в равностороннем треугольнике.
• В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами.
• Следовательно, точка пересечения медиан совпадает с точкой пересечения высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
• Таким образом, центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров) совпадает с центром вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) и с точкой пересечения медиан (центроидом).
• Это свойство присуще только равностороннему треугольнику.
• Вывод: Если точка пересечения медиан треугольника АВС является центром описанной около него окружности, то треугольник АВС является равносторонним.

Ответ: Доказано.