2. Точки A и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BD (рис. 14). Известно, что ∠ABD = ∠CDB и ∠ABC = ∠CDA. Докажите, что △ADB = △CBD.

Так как точки \(A\) и \(C\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(BD\), лучи \(BA\) и \(BC\) расположены по разные стороны от луча \(BD\). Поэтому \(\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC\).

Аналогично, \(\angle CDA=\angle CDB+\angle BDA\). Из равенства \(\angle ABC=\angle CDA\) и условия \(\angle ABD=\angle CDB\) вычитанием равных углов получаем \(\angle DBC=\angle BDA\).

Кроме того, \(\angle ADB=\angle CDB\) не следует из условия напрямую; однако из полученного равенства можно сопоставить углы треугольников: \(\angle ABD=\angle CDB\), \(\angle ADB=\angle CBD\). Сторона \(BD\) общая.

Следовательно, \(\triangle ADB=\triangle CBD\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: \(\triangle ADB=\triangle CBD\).