2) Точки E и F — соответственно середины сторон AB и BC ромба ABCD. Докажите, что ∠EAC = ∠FAC.

Данное утверждение в общем случае неверно, поэтому доказать его нельзя.

Контрпример: рассмотрим квадрат \(ABCD\) со сторонами 2 см и зададим координаты:

\(A(0;0)\), \(B(2;0)\), \(C(2;2)\), \(D(0;2)\).

Тогда \(E(1;0)\) — середина \(AB\), а \(F(2;1)\) — середина \(BC\).

1. Луч \(AE\) совпадает с лучом \(AB\), поэтому \(\angle EAC=\angle BAC=45^\circ\).
2. Угол наклона луча \(AF\) к оси \(AB\) имеет тангенс \(\dfrac{1}{2}\), поэтому \(\angle BAF=\arctan\dfrac{1}{2}\).
3. Следовательно,
   \(\angle FAC=45^\circ-\arctan\dfrac{1}{2}\approx18{,}4^\circ\).

Получаем \(\angle EAC=45^\circ\), а \(\angle FAC\approx18{,}4^\circ\), то есть углы не равны.

Ответ: утверждение неверно; вероятно, в условии допущена опечатка.