2. Точки M и N — середины противоположных сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм.

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны: BC ∥ AD и BC = AD.

Так как M — середина BC, а N — середина AD, имеем BM = MC = BC/2 и AN = ND = AD/2. Следовательно, MC = AN.

Отрезки MC и AN лежат на параллельных прямых BC и AD, поэтому MC ∥ AN. Значит, в четырёхугольнике AMCN одна пара противоположных сторон — MC и AN — параллельна и равна. По признаку параллелограмма AMCN является параллелограммом.

Ответ: AMCN — параллелограмм.