2. Треугольники ABC и ABD расположены так, что точка C не лежит в плоскости ABD. Точка H — середина отрезка AD, O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Определите положение точки пересечения прямой HO с плоскостью DBC.

Обозначим через P точку пересечения прямой HO с плоскостью DBC. Используем векторы с началом в произвольной точке.

Поскольку O — центр тяжести треугольника ABC, его радиус-вектор равен \(\vec O=(\vec A+\vec B+\vec C)/3\). Так как H — середина AD, \(\vec H=(\vec A+\vec D)/2\).

Точка на прямой HO имеет вид \(\vec X=\vec H+t(\vec O-\vec H)\). Для принадлежности плоскости DBC сумма коэффициентов при \(\vec D,\vec B,\vec C\) в её аффинном выражении должна равняться 1. На прямой HO эти коэффициенты равны \((1-t)/2,\ t/3,\ t/3\). Поэтому

\(\dfrac{1-t}{2}+\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{3}=1\), откуда \(t=3\).

Следовательно, \(\vec P=\vec B+\vec C-\vec D\). Это точка плоскости DBC; равенство \(\vec P+\vec D=\vec B+\vec C\) означает, что середины отрезков PD и BC совпадают.

Ответ: точка P лежит в плоскости DBC и является точкой, симметричной D относительно середины BC. На прямой HO точки расположены в порядке H, O, P, причём OP = 2HO.