2. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка E лежит на стороне AB, а точка F — на стороне BC, причем EF параллельна плоскости ADC, точка P — середина AD, а точка K — середина DC. 1) Докажите, что EF || PK. 2) Каково взаимное расположение прямых PK и AB? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠ABC = 40° и ∠BCA = 80°?

Решение:

1. Доказательство EF || PK:
   • Так как EF || плоскости ADC, то EF || любой прямой, лежащей в плоскости ADC и пересекающей EF.
   • Рассмотрим треугольник ABC. Точки E и F лежат на сторонах AB и BC соответственно. По теореме Фалеса (или теореме о средней линии, если EF — средняя линия), если EF || AC, то EF параллельна любой прямой в плоскости ADC, в том числе и PK.
   • В треугольнике BCD, P и K — середины сторон AD и DC. Следовательно, PK является средней линией треугольника ADC.
   • По свойству средней линии треугольника, PK || AC.
   • Поскольку EF || плоскости ADC, а PK лежит в этой плоскости и PK || AC, то EF || PK.
2. Взаимное расположение PK и AB:
   • PK || AC.
   • Прямая AB пересекает прямую AC.
   • Следовательно, прямые PK и AB являются скрещивающимися или пересекающимися.
   • Чтобы определить угол между PK и AB, найдем угол между AC и AB, так как PK || AC.
   • В треугольнике ABC: ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 40° - 80° = 60°.
   • Таким образом, угол между прямыми PK и AB равен 60°.

Ответ:

• 1) EF || PK доказано.
• 2) PK и AB являются скрещивающимися прямыми. Угол между ними равен 60°.