2. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Найдите вероятности следующих событий: А = {каждый надел свою шляпу}, В = {все надели чужие шляпы}, С = {двое надели чужие шляпы, а один свою}, D = {двое надели свои шляпы, а один чужую}.

Привет! Давай разберем эту задачку про шляпы. Это классический пример на перестановки и вероятности.

Шаг 1: Определим общее количество исходов.

У нас есть 3 господина и 3 шляпы. Каждый господин может взять любую из 3 шляп. Количество способов, которыми они могут разобрать шляпы, — это число перестановок из 3 элементов, которое равно 3! (3 факториал).

3! = 3 * 2 * 1 = 6.

Итак, всего существует 6 возможных способов, как господа могли разобрать шляпы. Перечислим их для наглядности (Г1, Г2, Г3 - господа; Ш1, Ш2, Ш3 - их шляпы):

1. Г1-Ш1, Г2-Ш2, Г3-Ш3 (все свои)
2. Г1-Ш1, Г2-Ш3, Г3-Ш2
3. Г1-Ш2, Г2-Ш1, Г3-Ш3
4. Г1-Ш2, Г2-Ш3, Г3-Ш1
5. Г1-Ш3, Г2-Ш1, Г3-Ш2
6. Г1-Ш3, Г2-Ш2, Г3-Ш1

Шаг 2: Найдем вероятность каждого события.

Событие А: {каждый надел свою шляпу}

Это случай, когда все взяли свои шляпы (Г1-Ш1, Г2-Ш2, Г3-Ш3). Такой исход только 1.

Вероятность P(A) = 1 / 6.

Событие В: {все надели чужие шляпы}

Это случаи, когда никто не взял свою шляпу. Посмотри на список выше: такие случаи — это №4 (Г1-Ш2, Г2-Ш3, Г3-Ш1) и №5 (Г1-Ш3, Г2-Ш1, Г3-Ш2). Таких исходов 2.

Вероятность P(B) = 2 / 6 = 1 / 3.

Событие С: {двое надели чужие шляпы, а один свою}

Давай подумаем. Если один господин взял свою шляпу, то двое других ОБЯЗАТЕЛЬНО возьмут чужие шляпы, но при этом их шляпы окажутся перепутанными между собой. Например, если Г1 взял свою шляпу (Ш1), то Г2 и Г3 должны взять чужие. Варианты: Г2-Ш3, Г3-Ш2. Это соответствует исходу №2. Если бы Г2 взял свою шляпу (Ш2), то Г1 и Г3 должны взять чужие: Г1-Ш3, Г3-Ш1 (это исход №6). Если Г3 взял свою шляпу (Ш3), то Г1 и Г2 должны взять чужие: Г1-Ш2, Г2-Ш1 (это исход №3). Таким образом, это событие на самом деле означает, что ровно один человек взял свою шляпу (а двое других - чужие).

В нашем списке таких исходов 3: №2, №3, №6.

Вероятность P(C) = 3 / 6 = 1 / 2.

Событие D: {двое надели свои шляпы, а один чужую}

Это событие невозможно. Если двое господ взяли свои шляпы, то третьему господину остается только его собственная шляпа. Невозможно, чтобы один господин взял чужую шляпу, когда двое других уже взяли свои.

Вероятность P(D) = 0 / 6 = 0.

Итоговые вероятности:

• P(A) = 1/6
• P(B) = 1/3
• P(C) = 1/2
• P(D) = 0