2. Угол M при основании MT трапеции MKPT равен 45°, MK = 6√2 см, MT = 10 см, KP = 4 см. Вычислите: а) длину меньшей диагонали трапеции; б) сумму длин диагоналей трапеции.

Основания трапеции — \(MT\) и \(KP\), значит \(MT\parallel KP\). Опустим из точки K перпендикуляр к основанию MT. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(MK=6\sqrt2\) и углом при M, равным \(45^\circ\), обе проекции катетов равны \(6\) см: \(6\sqrt2\cdot\cos45^\circ=6\) и \(6\sqrt2\cdot\sin45^\circ=6\).

Выберем координаты: \(M=(0,0)\), \(T=(10,0)\). Тогда \(K=(6,6)\). Поскольку \(KP=4\) и \(KP\parallel MT\), получаем \(P=(10,6)\).

а) Диагонали:

\(MP=\sqrt{10^2+6^2}=2\sqrt{34}\) см;

\(KT=\sqrt{(10-6)^2+6^2}=2\sqrt{13}\) см.

Так как \(2\sqrt{13}<2\sqrt{34}\), меньшая диагональ равна \(2\sqrt{13}\) см.

б) Сумма диагоналей: \(2\sqrt{13}+2\sqrt{34}=2(\sqrt{13}+\sqrt{34})\) см.

Ответ: а) \(2\sqrt{13}\) см; б) \(2(\sqrt{13}+\sqrt{34})\) см.