2. Угол параллелограмма равен 150°, а сторона — 11 см и 3√3 см. Найдите площадь параллелограмма и его меньшую диагональ.

Пусть стороны параллелограмма равны \(a=11\) см и \(b=3\sqrt3\) см, а угол между ними равен \(150^\circ\).

Площадь равна произведению сторон на синус угла между ними:

\(S=ab\sin150^\circ=11\cdot3\sqrt3\cdot\frac12=\frac{33\sqrt3}{2}\) см².

Квадраты диагоналей параллелограмма равны \(a^2+b^2\pm2ab\cos150^\circ\). Поскольку \(\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\), меньшей диагонали соответствует знак «плюс» перед \(2ab\cos150^\circ\), то есть меньший результат:

\(d^2=11^2+(3\sqrt3)^2+2\cdot11\cdot3\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=121+27-99=49\).

Следовательно, \(d=7\) см.

Ответ: площадь \(\frac{33\sqrt3}{2}\) см², меньшая диагональ — 7 см.