Ответ:

  1. На лесных дорогах при приближении врага валили деревья вершинами к неприятелю, и конница кочевников увязала в леса.

    Две грамматические основы: валили (неопределённо-личное предложение) и конница увязала. Запятая разделяет части сложносочинённого предложения.

  2. Царь Пётр, замысливший обзавестись флотом, искал подходящее место начать строительство.

    Одна грамматическая основа: царь Пётр искал. Причастный оборот после определяемых слов «Царь Пётр» обособляется.

  3. Много лесов было осмотрено, но только тут, под Воронежем, царь нашёл то, что искал.

    Три грамматические основы: было осмотрено, царь нашёл, искал. Запятая перед «но» разделяет части сложного предложения; «под Воронежем» — уточнение места; перед «что» ставится запятая между главной и придаточной частями.

Ответ: 1) две основы; 2) одна; 3) три.