Краткое пояснение:
Частица не с глаголами пишется раздельно, если глагол употребляется без не, или если глагол имеет приставку до- и обозначает неполноту действия. В остальных случаях не с глаголами пишется слитно.
Разбор вариантов:
- а) Андрей (не)мог поступить иначе. Глагол мог употребляется без не, но здесь не является частицей, которая усиливает отрицание, поэтому пишется раздельно.
- б) В последнее время дедушка ложился поздно, (не)досыпал. Глагол досыпал имеет приставку до- и обозначает неполноту действия (т.е. спал недостаточно). В этом случае не пишется слитно.
- в) (Не)взлюбил он своего земляка смолоду за удачливость. Глагол взлюбил без не не употребляется (то есть, нельзя сказать «взлюбил»), поэтому не пишется слитно.
Вывод:
Правильный вариант — а).
Составление предложения:
Не хочу идти гулять, потому что идет дождь.