2. Укажите все цифры, которыми можно заменить звёздочки так, чтобы: а) числа 71; 58* делились на 3; б) числа 18; 170; 348 делились на 9; в) числа 27; 13 делились на 3 и на 5; г) числа 38705; 69006 были кратны 3 и 4.

Question

Вопрос:

Фото задания: 2. Укажите все цифры, которыми можно заменить звёздочки так, чтобы: а) числа 7*1; 5*8* делились на 3; б) числа 1*8; 17*0*;…

2. Укажите все цифры, которыми можно заменить звёздочки так, чтобы: а) числа 71; 58* делились на 3; б) числа 18; 170; 348 делились на 9; в) числа 27; 13 делились на 3 и на 5; г) числа 38705; 69006 были кратны 3 и 4.

Accepted Answer

Используем признаки делимости: на 3 и на 9 — сумма цифр делится соответственно на 3 или 9; на 4 — последние две цифры делятся на 4; на 5 — последняя цифра 0 или 5.

а)

Для числа \(7*1\): \(7+x+1=8+x\). Поэтому \(x=1,4,7\). Получаются числа 711, 741, 771.

Для числа \(5*8*\): сумма цифр равна \(13+x+y\). Поэтому \(x+y\) должно давать остаток 2 при делении на 3.

Подходящие пары цифр \((x;y)\): (0;2), (0;5), (0;8), (1;1), (1;4), (1;7), (2;0), (2;3), (2;6), (2;9), (3;2), (3;5), (3;8), (4;1), (4;4), (4;7), (5;0), (5;3), (5;6), (5;9), (6;2), (6;5), (6;8), (7;1), (7;4), (7;7), (8;0), (8;3), (8;6), (8;9), (9;2), (9;5), (9;8).

б)

Для числа \(1*8\): \(1+x+8=9+x\), поэтому \(x=0,9\). Числа: 108, 198.

Для числа \(17*0*\): сумма цифр \(8+x+y\). Подходящие пары цифр должны удовлетворять условию \(x+y\equiv1\pmod 9\): (0;1), (1;0), (1;9), (2;8), (3;7), (4;6), (5;5), (6;4), (7;3), (8;2), (9;1).

Для числа \(34*8*\): сумма цифр \(15+x+y\). Подходящие пары цифр должны удовлетворять условию \(x+y\equiv3\pmod 9\): (0;3), (1;2), (1;9), (2;1), (2;8), (3;0), (3;9), (4;8), (5;7), (6;6), (7;5), (8;4), (9;3).

в)

Число \(27*\) должно оканчиваться на 0 или 5. Для делимости на 3 подходят цифры 0, 3, 6, 9. Общая цифра — 0. Получаем число 270.

Для числа \(1*3*\) последняя цифра должна быть 0 или 5.

Если последняя цифра 0, первая звёздочка может быть 2, 5 или 8: 1230, 1530, 1830.

Если последняя цифра 5, первая звёздочка может быть 0, 3, 6 или 9: 1035, 1335, 1635, 1935.

г)

Для числа \(38705*\) последние две цифры должны делиться на 4. Возможны окончания 52 и 56, то есть последняя цифра 2 или 6. Но сумма цифр равна \(23+x\), и ни при \(x=2\), ни при \(x=6\) она не делится на 3. Поэтому подходящих цифр нет.

Для числа \(69006*\) последние две цифры должны быть 60, 64 или 68. Это даёт цифры 0, 4 или 8. Сумма цифр равна \(21+x\), поэтому для делимости на 3 подходит только \(x=0\). Получаем число 690060.

Ответ: а) \(7*1\): 1, 4, 7; для \(5*8*\) — пары указаны выше. б) \(1*8\): 0, 9; для остальных чисел — пары указаны выше. в) \(27*\): 0; \(1*3*\): 20, 50, 80 или 05, 35, 65, 95 в позициях звёздочек. г) \(38705*\) — решений нет; \(69006*\): 0.