2. Упростить выражения: a) \(\frac{2x-2y}{y} \cdot \frac{3y^2}{x^2-y^2}\) б) \(\frac{a+x}{a} : \frac{ax+x^2}{a^2}\) в) \(\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2}\) г) \(\frac{5a^2}{a-1} - 5a\)

2. Упрощение выражений:

1. а) \(\frac{2x-2y}{y} \cdot \frac{3y^2}{x^2-y^2}\)
1. Разложим числитель и знаменатель на множители:
2. \( 2x-2y = 2(x-y) \)
3. \( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \)
4. Подставим разложенные выражения:
5. \( \frac{2(x-y)}{y} \cdot \frac{3y^2}{(x-y)(x+y)} \)
6. Сократим общие множители: \( \frac{2 \cancel{(x-y)}}{y} \cdot \frac{3y^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{2 \cdot 3y}{x+y} = \frac{6y}{x+y} \)
2. б) \(\frac{a+x}{a} : \frac{ax+x^2}{a^2}\)
1. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
2. \( \frac{a+x}{a} \cdot \frac{a^2}{ax+x^2} \)
3. Разложим \( ax+x^2 \) на множители: \( ax+x^2 = x(a+x) \)
4. Подставим разложенное выражение:
5. \( \frac{a+x}{a} \cdot \frac{a^2}{x(a+x)} \)
6. Сократим общие множители: \( \frac{\cancel{a+x}}{a} \cdot \frac{a^{\cancel{2}}}{x \cancel{(a+x)}} = \frac{a}{x} \)
3. в) \(\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2}\)
1. Приведём дроби к общему знаменателю \( (x-2)(x+2) = x^2-4 \):
2. \( \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{1 \cdot (x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+2}{x^2-4} + \frac{x-2}{x^2-4} \)
3. Сложим числители:
4. \( \frac{(x+2) + (x-2)}{x^2-4} = \frac{x+2+x-2}{x^2-4} = \frac{2x}{x^2-4} \)
4. г) \(\frac{5a^2}{a-1} - 5a\)
1. Приведём \( 5a \) к знаменателю \( a-1 \):
2. \( 5a = \frac{5a(a-1)}{a-1} = \frac{5a^2-5a}{a-1} \)
3. Выполним вычитание:
4. \( \frac{5a^2}{a-1} - \frac{5a^2-5a}{a-1} = \frac{5a^2 - (5a^2-5a)}{a-1} \)
5. Раскроем скобки: \( \frac{5a^2 - 5a^2 + 5a}{a-1} = \frac{5a}{a-1} \)

Ответ: а) \(\frac{6y}{x+y}\); б) \(\frac{a}{x}\); в) \(\frac{2x}{x^2-4}\); г) \(\frac{5a}{a-1}\).