2. Упростите: а) 1/(3 · x) · √(−27x); б) 1/(a⁴ · b) · √(a⁸b³); в) (2a − √6)(2a + √6); г) (2√5 + 3√2)(√5 − √8); д) (√(5a))² − (2√5 + 4√2)²; е) (2 + √6)/(√6 + 3); ж) (5 − √15)/(√15 − 3); з) (a + 2√a + 4)/(a√a − 8); и) (a√a + 27)/(a − 3√a + 9).

1. а) Область допустимых значений: \(-27x\geq0\) и \(x\ne0\), значит \(x<0\). \(\dfrac{1}{3x}\sqrt{-27x}=\dfrac{3\sqrt{-3x}}{3x}=\dfrac{\sqrt{-3x}}{x}\).

2. б) Здесь \(a\ne0\), а из условия подкоренного выражения и знаменателя следует \(b>0\). Тогда \(\dfrac{\sqrt{a^8b^3}}{a^4b}=\dfrac{a^4b\sqrt b}{a^4b}=\sqrt b\).

3. в) Применим формулу разности квадратов: \((2a-\sqrt6)(2a+\sqrt6)=(2a)^2-(\sqrt6)^2=4a^2-6\).

4. г) Так как \(\sqrt8=2\sqrt2\), получаем \((2\sqrt5+3\sqrt2)(\sqrt5-2\sqrt2)=10-4\sqrt{10}+3\sqrt{10}-12=\sqrt{10}-2\).

5. д) Раскроем квадрат суммы: \((\sqrt{5a})^2=5a\), а \((2\sqrt5+4\sqrt2)^2=20+16\sqrt{10}+32=52+16\sqrt{10}\). Поэтому выражение равно \(5a-52-16\sqrt{10}\).

6. е) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: \(\dfrac{2+\sqrt6}{\sqrt6+3}\cdot\dfrac{3-\sqrt6}{3-\sqrt6}=\dfrac{(2+\sqrt6)(3-\sqrt6)}{9-6}=\dfrac{\sqrt6}{3}\).

7. ж) Умножим на сопряжённое к знаменателю: \(\dfrac{5-\sqrt{15}}{\sqrt{15}-3}\cdot\dfrac{\sqrt{15}+3}{\sqrt{15}+3}=\dfrac{2\sqrt{15}}{6}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\).

8. з) Пусть \(t=\sqrt a\), где \(a\geq0\). Тогда числитель равен \(t^2+2t+4\), а знаменатель — \(t^3-8=(t-2)(t^2+2t+4)\). Сокращаем общий множитель; исходный знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(a\ne8\). Получаем \(\dfrac{1}{\sqrt a-2}\).

9. и) Обозначим \(t=\sqrt a\), где \(a\geq0\). Тогда \(a\sqrt a+27=t^3+3^3=(t+3)(t^2-3t+9)\), а знаменатель равен \(t^2-3t+9\). Сокращая общий множитель, получаем \(\sqrt a+3\).

Ответ: а) \(\dfrac{\sqrt{-3x}}{x}\); б) \(\sqrt b\); в) \(4a^2-6\); г) \(\sqrt{10}-2\); д) \(5a-52-16\sqrt{10}\); е) \(\dfrac{\sqrt6}{3}\); ж) \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}\); з) \(\dfrac{1}{\sqrt a-2}\); и) \(\sqrt a+3\).