2) Упростите: а) $\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}+\frac{x}{4-b}$; б) $\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}$; в) $\left(\frac{2a^2-a}{a^2-a+1}-2\right):\left(\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{a^2-a+1}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2) Упростите: а) $\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}+\frac{x}{4-b}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим разности квадратов и учтём, что $4-b=-(b-4)$:

$\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}+\frac{x}{4-b}=\frac{(a-x)(a+x)}{(b-4)(b+4)}\cdot\frac{b+4}{a-x}-\frac{x}{b-4}$.

Сокращаем общие множители и складываем:

$\frac{a+x}{b-4}-\frac{x}{b-4}=\frac{a}{b-4}$.

Ограничения: $b\ne\pm4, a\ne x$.

б) Сократим второе слагаемое, используя $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{2x+y}=\frac{x-y}{2x+y}+\frac{x+y}{2x+y}=\frac{2x}{2x+y}$.

Ограничения: $x\ne y, 2x+y\ne0$.

в) Обозначим общий знаменатель $D=a^2-a+1$. Упростим первую скобку:

$\frac{2a^2-a}{D}-2=\frac{2a^2-a-2(a^2-a+1)}{D}=\frac{a-2}{D}$.

Упростим вторую скобку, используя $(a-1)(a+1)=a^2-1$:

$\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{D}=\frac{D-(a-1)(a+1)}{(a+1)D}=\frac{2-a}{(a+1)D}$.

Делим первую скобку на вторую:

$\frac{a-2}{D}\cdot\frac{(a+1)D}{2-a}=-(a+1)$.

Ограничения: $a\ne-1,2$.

Ответ: а) $\frac{a}{b-4}$; б) $\frac{2x}{2x+y}$; в) $-a-1$.

2) Упростите: а) \(\frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}+\frac{x}{4-b}\); б) \(\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}\); в) \(\left(\frac{2a^2-a}{a^2-a+1}-2\right):\left(\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{a^2-a+1}\right)\).